뫼비우스띠의 비밀을 밝혔어요 !!
뫼비우스띠(Mobius band)란 긴 직사각형을 한 번 비꼬아서 대변을 서로 맞붙인 도형으로 안과 밖을 구분할 수 없는 도형을 말한다. 이러한 뫼비우스의 띠를 한 번, 두 번, 세 번.....꼬아서 길이를 따라 이등분, 삼등분, 사등분을 한다면 어떤 모양의 띠가 만들어질까? 이같은 궁금증을 해결하기 위해 몇 가지 조건으로 실험을 해보고 그로부터 만들어지는 것을 조사해보기로 했다. 이런 실험을 직접 해 보기 전에 상상하여 추측해 보는 것은 무엇보다 중요했다. 처음 몇번 동안의 추측은 예상외로 빗나갔다. 예를들어, 한번 꼬인 뫼비우스띠의 가운데를 자르면 길이가 2배가 되기는 하겠지만 여전히 한번 꼬인 뫼비우스띠인 줄로 생각했는데, 그것은 안과 밖이 다시 구분이 되는 2번 꼬인 고리가 나왔다. 그 다음부터의 추측은 보다 신중해 졌다.
결과는 다음과 같다.
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한 번 꼰 것을 |
두 번 꼰 것을 |
세 번 꼰 것을 |
네 번 꼰 것을 |
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이 등 분 하면 |
두 번 꼬인 하나의 고리 |
두 번 꼬인 고리가 2개 연결 |
여섯 번 꼬인 하나의 고리 |
네 번 꼬인 고리가 2개 연결 |
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삼 등 분 하면 |
한 번 꼬인 고리와 두 번 꼬인 고리가 연결 |
두 번 꼬인 고리가 3개 연결 |
세 번 꼬인 고리와 여섯 번 꼬인 고리가 연결 |
네 번 꼬인 고리가 3개 연결 |
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사 등 분 하면 |
두 번 꼬인 고리가 2개 연결 |
두 번 꼬인 고리가 4개 연결 |
여섯 번 꼬인 고리가 2개 연결 |
네 번 꼬인 고리가 4개 연결 |
이상과 같은 실험결과 뭔가 규칙이 생기고 있다는 것을 발견할 수 있었다.
즉, 두 번, 네 번, 여섯 번 ...과 같이 짝수번 꼬인 띠는 안과 밖이 구분이 된다는 특징을 갖고 있는데 이러한 띠를 등분할 때는 등분하는 수만큼 원래 모양의 띠가 만들어진다는 것이다.
이와는 달리 홀수번 꼬인 띠는 안과 밖이 구분되지 않는다는 특징을 갖고 있었으며 처음 이등분 할 때는 꼬인 횟수의 2배만큼 꼬인 하나의 띠가 형성이 되고, 삼등분 할 때는 원래 모양의 띠 하나와 꼬인 횟수의 2배만큼 꼬인 띠 하나가 형성되었다.
삼등분한 부분에 번호를 붙여보았더니 바깥쪽의 1번과 3번이 연결되어 두 번 꼬인 안과 밖의 구분이 있는 긴 띠 하나와 원래의 뫼비우스띠와 똑같은 2번 띠가 만들어졌다.
또 사등분 할 때는 삼등분할 때의 원래 모양의 띠 하나를 또 이등분하는 것이므로 꼬인 횟수의 2배만큼 꼬인 띠가 두 개 형성되었다.
이와 같이 계속해서 오등분을 한다면 원래 모양의 띠 하나와 꼬인 횟수의 2배만큼 꼬인 띠가 두 개 형성되리라는 추측이 가능하다.
또 여섯 등분을 한다면 꼬인 횟수의 2배만큼 꼬인 띠가 세 개 형성될 것이다.
자칫 보면 매우 복잡한 현상일 수 있으나 차근차근 단계를 밟아나가면 재미있는 규칙이 존재하고 있음을 알 수 있다. 마술같은 뫼비우스의 띠에도 이러한 규칙이 숨어있다는 걸 발견한 사람이라면 누구나 흥미로운 수학의 세계로 빨려들지 않을 수 없을 것이다.
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교수님, 안녕하세요? 수학교육 강의를 듣고 있는 체육교육과 98학번 장월주라고 합니다. 오늘 교수님 수업을 듣고 점심을 먹고 난 후에 친구들 2명과 같이 '뫼비우스의 띠'의 비밀을 밝혀보고자 한자리에 모였답니다. 처음에는 너무 헷갈려서 많이 지쳤는데 조금있으니까 하나하나 풀리기 시작하더군요...그 기쁨이란~~ 저희의 해답이 온전한 것인지 잘은 모르겠지만 저희들 나름대로 있는대로 머리를 짜보았답니다. 잘못된 부분이 있다면 지적해주세요. 생각보다 간단해서 한 페이지 분량밖에 되지 않습니다. 교수님의 충고를 기다릴께요. 아참, 그리구 수학교육을 왜 해야하는가?란 질문에 저 나름대로 생각을 해보았는데요... 자연의 질서와 법칙을 '수'라는 개념으로 접근해보고자 하는데 수학교육의 의미가 있지 않나 하는 생각을 해보았습니다. 수의 개념으로 자연을 이해하고 논리적으로 분석하고, 추리하는 사고력 신장이 중요하다는 생각이 듭니다.수학이라는 학문 그 자체보다 수학을 통해 문제를 해결해 나가는 그 방법자체가 수학교육에 있어서 더 중요한 의미를 지니지 않을까요? 특히 초등수학교육에 있어서는 더 그러하리라는 생각이 듭니다. 조언부탁드리며 이만 맺겠습니다. 안녕히계세요.
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발견의 기쁨이란 맛보지 못한 사람은 모른다. 머리로만 생각하던 것을 체계적으로 정리해 보면 그 규칙이 발견되는 것이다. 위의 몇 학생들은 수업시간에 얻은 힌트를 가지고 짬을 내어 생각해 본 것을 글로 써 보았다. 표를 그린 것은 결론을 얻는데 좋은 한가지 방법이었다. 그들은 아마 그 시간 주위의 어떤 사람들도 경험치 못한 기쁨을 만끽했을 것이다. 그들은 학점때문이 아니다. 그 기쁨만으로 족하다고 느꼈을 것이다. 그런 사람들은 수학공부를 하지 말라고 법을 정해 금지할지라도 숨어서 비밀스럽게 할 사람들이다.....
우리 아이들에게 억지로 수학을 가르치려고 하는 선생과 부모는 불행하다. 아이들은 재미있고 가치있는 것을 한 번만이라도 경험한 적이 있고 또 그럴 것이라고 판단되면 기를 쓰고 하려고 덤빈다. 수학이 언제부터 재미없는 과목으로 인식되어 버렸는가? 바뀌어야 한다. 선생님부터... 교대생들의 어깨에 민족과 세계의 미래가 달렸다. 화이팅!
비록 위의 내용이 부족하고 심지어 틀렸다 할지라도 괜찮다. 이것만으로도 충분하다. 그러나 더 나아가 또 다른 사람들의 코멘트와 발전, 토론이 있기를 기대한다.
* 참고 : 이곳은 체육과 98학번 김혜경, 장월주, 추미화선생의 수고로 만들어진 것입니다.
