점, 선, 면

▣ 점

▣ 선

▣ 면

주변의 사물의 모양을 말할 때, 우리는 도형을 예로 들어 설명합니다. '트라이앵글은 세모', '공책은 네모'라는 말에서, 세모나 네모는 삼각형과 사각형이라는 도형을 말합니다. 또 주사위 같은 모양의 도형을 정육면체라고 하는데 이러한 도형들은 모두 점, 선, 면으로 이루어져 있습니다.

점

일상 생활에서 우리는 '네 얼굴에 있는 점 진짜 크다'라는 말을 하지만 수학에서는 점이란 위치만 표시할 수 있고 크기나 모양이 없는 것입니다. 그러므로 큰 점, 작은 점이나 복점이란 것은 없습니다. 그러면 점이 있는지 어떻게 알 수 있을까요?

[그림 1]에 그려진 삼각형을 봅시다. 삼각형에는 세 개의 선이 있는데 그 선들을 각각 선1, 선2, 선3이라 합시다. 선1과 선2가 만나는 곳에 무엇이 있습니까?

예! 점입니다.

선2와 선3이 만나는 곳, 선3과 선1이 만나는 곳에도 점이 있습니다.

이로써 점이 있다는 것을 알 수 있겠죠?

점은 크기나 모양이 없는 것이니 어떻게 표시할지 걱정이라고요? 점을 그리고자 하는 곳에 이렇게 표시하면 됩니다. 사실 이렇게 표시해도 크기는 있는 것이긴 하지만 점을 보이게 표시해야할 때는 이렇게 표시하기로 약속합니다.그리고 점은 보통 영문 대문자로 점 A, 점 B, 점 C와 같이 표시합니다.
 

   [그림1]

선

그러면 이번에는 선에 대해 알아볼까요?

[그림 1]에 대한 설명에서 선과 선이 만나면 점이 생긴다고 하였는데 왜 그런 것일까요? 선이 수많은 점들로 이루어져 있다는 생각을 해본 적이 있나요?

아무리 짧은 선이라도 그 선은 셀 수 없을 만큼 많은 점들로 이루어져 있습니다. 따라서 선과 선이 만나는 곳에도 점이 있는 것이고 이 점은 두 선에 공통으로 포함되는 점입니다.

선에는 여러 종류가 있습니다.

선 중에서 곡선이 아닌 곧은 선은 선분, 직선, 반직선으로 구분할 수 있습니다. 선은 무수히 많은 점들을 포함하고 있다고 하였는데, 선에 포함되는 서로 다른 두 점 A와 B를 생각해 봅시다.

이 두 점 A, B를 포함하는 선 중에서 다음의 그림처럼 두 점 A와 B 사이를 잇는 가장 짧은 선을 선분 AB라고 하고 로 나타냅니다.

다음 그림에서와 같이 선분 AB를 포함하면서 두 점의 양쪽으로 무한하게 뻗어나가는 선을 직선 AB라고 하고 로 표시한다.

점 A와 점 B를 잇는 선은 얼마든지 많이 그릴 수 있지만 그 중에 직선은 단 하나밖에 존재하지 않습니다.

다음 그림에서와 같이 두 점 중 한 점 쪽으로는 무한히 뻗어나가고 다른 한쪽 점으로는 뻗어나가지 않는 선을 반직선이라고 합니다. 예를 들어 점 A에서 출발하여 점 B쪽으로 뻗어나가는 선을 반직선 AB라고 하고 로 나타내며, 점 B에서 출발하여 점 A쪽으로 뻗어나가는 선을 반직선 BA라고 하고 로 나타냅니다.

점은 크기가 없지만 선은 크기를 말할 수 있습니다. 선의 크기는 길이로 나타냅니다. 예를 들어, '선분 AB의 길이는 얼마이다'라고 말 할 수 있는 것입니다. 하지만 직선이나 반직선의 경우에는 '길이'라는 이야기는 할 수 있지만, 이들은 양쪽 혹은 한쪽으로 무한히 늘어나는 선이기 때문에 '길이가 얼마이다'라고 딱 잘라서 말할 수 없으며, '길이가 무한히 길다'고 밖에 할 수 없습니다.
 

면

면은 무수히 많은 선들의 모임입니다.

그 중에서도 평면은 공과 같은 곡면이 아닌 공책의 면처럼 편편한 면을 말합니다. 평면에도 역시 무수히 많은 선들이 있습니다. 다음 그림에서처럼 평면과 선이 만나는 경우를 생각해 볼까요?

평면과 선이 만날 때(왼쪽 그림), 그 선이 평면 위에 있지 않으면 그 선과 평면은 한 점에서 만나게 됩니다. 이 점은 선과 평면에 공통으로 포함되는 것으로 무수히 많은 점들로 이루어진 선의 한 점이자, 무수히 많은 선들로 이루어진 평면의 한 점이 됩니다.

앞에서 선과 선이 만나는 경우에도 한 점이 생긴다고 하였습니다. 이렇게 선과 선이 만날 때(오른쪽 그림), 선과 면이 만날 때(왼쪽 그림)생기는 점을 교점이라고 합니다.

그러면 다음 그림에서처럼 평면과 평면이 만나면 어떻게 될까요? 이 때는 선이 생깁니다. 이 선을 두 평면의 교선이라고 합니다. 이 교선은 물론 두 평면에 공통으로 포함되는 선입니다.
 

면의 크기는 넓이라는 말로 나타냅니다. 우리가 초등학교에서 배운 삼각형이나 사각형의 넓이를 구하는 법을 배웠습니다.

이때 삼각형이나 사각형을 이루는 면의 크기 즉, 넓이를 구한 것입니다.

그런데 여기서 배우는 평면은 넓이가 무한한 면을 말합니다. 그래서 평면을 그림으로 나타낼 때는 아래의 그림에서와 같이 평면의 일부분인 평행사변형을 그리고, 평면 ABCD라고 나타내거나 영문 대문자로 평면 P, 평면 Q 등으로 나타냅니다.
 

한 평면이 정해지기 위해서는 최소한 몇 가지 조건을 갖추어야 합니다. 이를 평면의 결정 조건이라고 합니다.

예를 들어 두 점 A와 B가 있다고 해 봅시다. 이 두 점으로는 한 평면을 결정할 수 없습니다. 이 두 점을 포함하는 평면은 다음 그림에서처럼 무수히 많기 때문입니다(물론, 이와 같은 평면을 실제로 무한히 많이 그릴 수가 없기 때문에, 이 그림에서는 세 개만 그렸지만....).

따라서 점들로 한 평면을 정하려면 적어도 세 점이 있어야 합니다. 하지만 이 세 점들이 한 직선 위에 있으면 이 세 점을 포함하는 평면도 두 점을 포함하는 평면처럼 무수히 많아지고 맙니다.

그러면 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 정말 하나의 평면으로 정해질까요? 다음 그림을 보면 알 수 있듯이 이 세 점을 포함하는 평면은 하나밖에 없습니다. 그래서 첫 번째 평면의 결정 조건을 한 직선 위에 있지 않은 세 점이라고 할 수 있습니다.

그러면 한 직선으로 한 평면을 정할 수 있을까요? 직선 AB를 포함하는 평면은 다음 그림처럼 무수히 많습니다(물론, 이와 같은 평면을 실제로 무한히 많이 그릴 수가 없기 때문에, 이 그림에서는 세 개만 그렸지만....).

하지만 만약 직선 AB와 이 직선 위에 있지 않은 점 C가 있다면 어떨까요?

다음 그림처럼 이 경우에는 한 평면이 정해집니다.

직선 AB와 점 C를 포함하는 평면은 단 하나만 있게 됩니다. 직선 위의 점 A, B와 그렇지 않은 한 점 C를 생각하면 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 되어 첫 번째 평면의 결정 조건과 같은 조건이 되어 한 평면이 정해진다는 것을 또 확인할 수 있습니다.

따라서 두 번째 평면의 결정조건은 한 직선과 그 직선 밖의 한 점이 됩니다.

이번에는 직선만으로 평면을 결정할 수 있을지 생각해 봅시다. 위에서 한 직선으로는 한 평면을 결정할 수 없다는 것을 알아보았습니다. 서로 다른 두 직선이 있는 경우를 생각해 봅시다.

두 직선이 만나는 경우에는 어떻게 될까요? 두 직선이 만나는 경우에는 두 직선에 공통으로 포함되는 교점이 생긴다는 것을 앞에서 배웠습니다.

다음 그림에서처럼 교점을 점 P라 하고 교점이 아닌 점을 두 직선에서 각각 하나씩 택해 점 Q, 점 R이라 하면 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 되어 한 평면이 결정된다는 것을 알 수 있습니다. 직선 PQ와 점 R 또는 직선 PR과 점 Q는 한 직선과 그 직선 밖의 한 점이 되어 역시 한 평면이 된다는 것을 확인할 수 있습니다.

따라서 세 번째 평면의 결정 조건은 만나는 두 직선이 됩니다.

그러면 두 직선이 평행한 경우를 살펴볼까요? 평행한 두 직선 역시 다음 그림에서처럼 한 평면을 결정한다는 것을 알 수 있습니다.

평행한 두 직선을 각각 직선 AB, 직선 CD라 하면 이것은 첫 번째 평면의 결정 조건처럼 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C로 생각할 수도 있고, 두 번째 평면의 결정 조건처럼 한 직선 AB와 그 직선 밖의 한 점 C로 생각할 수도 있어서 한 평면을 결정한다는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 네 번째 평면의 결정 조건은 평행한 두 직선이 됩니다.