오목한 정다면체

플라톤의 입체라고 하는 다섯 개의 정다면체는 각 면이 합동인 정다각형이고 꼭지점의 모양(Vertex Figure)이 동일한 다면체이다. 여기에는 볼록한 도형이라는 성질이 전제되어 있다. 볼록하지 않으면서 이러한 성질을 갖는 다면체도 있을까? 이러한 다면체를 오목한 정다면체라고 한다.

케를러와 포인샷에 의해서 4가지 오목한 정다면체가 발견되었는데, 이것을 케플러 포인샷 입체라고 한다.

거울 속의 다면체

거울의 반사하는 성질을 이용하여 특별한 거울을 만들면, 그 속에서 입체도형을 볼 수 있다.

이 작품은 세 개 이상의 거울을 각뿔의 안쪽 면이 되도록 만든 것이다. 거울 안에 정다각형 모양의 아크릴 조각을 넣으면 정다면체를 관찰할 수 있다.

거울 앞에 서면 상이 한 개 보인다. 거울의 한 쪽 모서리를 붙이고 각도를 조절하여 보자. 두 개의 거울 사이의 각을 180°, 90° 등으로 바꿀 때마다 상의 개수가 변할 것이다.

우주를 상징하는 정십이면체 안에는 정육면체, 정육면체 안에는 정사면체, 정사면체 안에는 정팔면체, 정팔면체 안에는 정이십면체, 정이십면체 안에는 정십이면체가 있다. 이것을 정다면체의 순환이라고 부른다.

이 작품은 이러한 정다면체의 순환과정을 한꺼번에 보여주는 전시물이다.

정다면체를 자르면 어떤 모양이 생길까?

정사면체를 자르면 삼각형, 사각형을 볼 수 있다.

정육면체를 자르면 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형을 볼 수 있다.

정팔면체를 자르면 사각형, 오각형, 육각형을 볼 수 있다.

오각형과 육각형으로 이루어져 있는 축구공은 정이십면체를 잘라서 만들어지는 모양이다.

이와 같이 정다면체를 각 꼭지점으로부터 일정한 거리에 있는 지점을 지나는 평면으로 자르면 깎은 정사면체, 깎은 정육면체, 깎은 정팔면체, 깎은 정십이면체, 깎은 정이십면체가 만들어진다.

깎은 정다면체는 다시 정다면체로 복원할 수 있는데, 축구공, 즉 깎은 정이십면체는 정오각뿔을 20개 붙이면 정이십면체로 복원된다.

깎은 정다면체 II

정십이면체와 정이십면체를 각 모서리의 중점을 지나는 평면으로 잘라내면 같은 모양의 준정다면체, 즉 십이이십면체가 만들어진다. 이는 정십이면체와 정이십면체가 서로 쌍대(Dual)이기 때문이다.

같은 방법으로 정육면체와 정팔면체를 각 모서리의 중점을 지나는 평면으로 잘라내면 준정다면체인 육팔면체가 만들어진다.

이중절단된 준정다면체

정다면체의 꼭지점 부분을 자른 후 이것의 모서리 부분을 다시 잘라서 준정다면체를 만들 수 있다. 이러한 준정다면체는 이중절단 정육면체, 이중절단 정팔면체, 이중절단 정십이면체, 이중절단 정이십면체의 네 가지 종류가 있다.

정이십면체를 두 번 잘라 만든 이중절단 정이십면체에 우진각 지붕 모양의 다면체를 붙이고 다시 정오각뿔을 붙이면 정이십면체로 복원시킬 수 있다.

부풀려서 만들어지는 준정다면체

정육면체의 각 면을 떼어내어 적당한 간격을 두고 떨어지게 한 후 그 사이를 정삼각형으로 메우면 준정다면체, 즉 부풀린 정육면체를 만들 수 있다.

정십이면체를 마찬가지 방법하여 부풀린 정십이면체를 만들 수 있다.