클라인병, 3차원이 4차원으로 클라인병, 3차원이 4차원으로 직사각형 모양의 띠의 양끝을 그대로 붙이면 둥그런 띠가 된다. 이 띠는 앞면과 뒷면이 있고 앞면에서 뒷면으로 가려면 모서리를 넘어가야만 한다. 그런데 직사각형 모양의 띠의 끝을 한 번 꼬아서, 즉 180°회전시켜서 다른 쪽 끝에 붙이면 색다른 모양의 띠가 만들어진다. 이렇게 만들어진 띠는 면이 한 개밖에 없다. 이러한 독특한 성질이 있는 띠를, 1865년 처음 발견한 독일의 수학자의 이름을 따서 `뫼비우스의 띠'라 한다. 아무도 한 면만 있을 수 있다는 것을 생각하지 못했던 때, 뫼비우스는 혹시 한 면만 있는 도형이 없을까 생각했던 것이다. 뫼비우스의 띠처럼 만들어진 2차원 공간에 개미가 산다면 한 바퀴를 돌아 처음 자리에 오면 처음 모습과는 좌우가 바뀐 것을 발견하게 될 것이다. 즉, 이런 공간에서는 좌우의 방향은 아무 의미가 없게 되는 것이다. 이것을 확인해보려면 비닐과 같은 투명한 뫼비우스의 띠에 그림을 그려나가보면 된다. 왼손을 그려나갔다면 한 바퀴 돌아왔을 때는 오른손처럼 방향이 바뀌어 있을 것이다. 방앗간이나 공장의 기계를 돌리는 벨트를 뫼비우스의 띠처럼 만들어서 쓰기도 한다. 두 개의 바퀴에 둥그런 띠 모양의 벨트를 그대로 걸면 기계에 닿는 한 쪽 면만 닳게 되는데 이것을 뫼비우스의 띠처럼 한 번 꼬아서 걸게 되면 벨트의 양 쪽 면이 골고루 닳아 벨트의 수명이 훨씬 길어진다. 또 그대로 걸면 쉽게 빠지던 띠도 이렇게 꼬아 걸면 잘 빠지지 않는다. 둥그런 띠를 가운데를 따라 자르면 띠는 2개로 나뉘어진다. 그러면 뫼비우스의 띠를 가운데를 따라 자르면 어떻게 될까? 2개의 띠로 나누어지지 않는 것을 확인할 수 있다. 이 띠는 앞뒷면이 있는가? 또, 몇 번 꼬였는지 세어보자. 이 띠를 또 한번 가운데를 따라 자르는 실험을 해보자. 뫼비우스의 띠 외에도 면이 하나 밖에 없는 도형이 있다. 가장자리가 없어 `내부와 외부가 구분되지 않는' 이것을 고안한 독일의 수학자 클라인의 이름을 따서 `클라인 병'이라고 한다. 직사각형은 2차원 도형이지만 한 번 꼬아서 만들어진 뫼비우스의 띠는 3차원의 도형이다. 이와 마찬가지로 클라인 병은 밑면과 윗면이 뚫려 있는 원기둥으로 만든다. 옆면을 뚫고 들어가서 밑면에 윗면을 붙이면 클라인 병이 되는데 이 때 4차원 도형이 돼야 한다. 우리가 살고 있는 3차원의 세계에선 옆면을 뚫고 들어가지만 4차원에서는 옆면을 뚫지 않고도 두 면을 붙일 수 있다. 2000.6.2 남호영